$y = \dfrac{a}{x}$의 그래프는 두 분지로 나뉜 곡선 — 쌍곡선. 축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다.
$y = \dfrac{6}{x}$. 표에서 점을 찍어 평면에 그려 보면 어떤 모양일까요?
아래는 식 → 표 → 점 → 곡선의 흐름입니다.
정비례와 달리 점들이 한 직선이 아닌 곡선 위에 줄지어 있고, 그 곡선은 두 부분으로 나뉘어 있습니다. 그리고 어느 점도 좌표축 위에 있지 않습니다 — 축에 가까이 가지만 닿지 않습니다.
반비례 관계의 그래프는 두 분지로 나뉜 곡선입니다 — 이를 쌍곡선이라 합니다.
반비례 관계 $y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$)의 그래프는 다음과 같은 성질을 가진 곡선(쌍곡선)이다:
① 두 개의 분지로 나뉘어 있다. 어느 분지도 좌표축과 만나지 않는다.
② 두 좌표축에 한없이 가까워지지만 닿지 않는다 (한없이 가까워지는 선을 점근선이라 한다).
③ 곡선이 어느 사분면을 지나는지는 비례상수 $a$의 부호로 결정.
④ 곡선이 원점에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지는 $|a|$의 크기로 결정.
⑤ 원점에 대해 대칭이다.
반비례 그래프도 비례상수의 부호가 지나는 사분면을 결정합니다.
• $a > 0$ → 곡선은 제1·3사분면 (두 양수의 곱 양수, 두 음수의 곱 양수).
• $a < 0$ → 곡선은 제2·4사분면 (양수·음수의 곱은 음수).
• 두 경우 모두 두 분지로 나뉘며 두 축에 닿지 않는다.
비례상수의 절댓값은 곡선이 원점과 얼마나 떨어져 있는지를 결정합니다.
$y = \dfrac{2}{x}$, $y = \dfrac{6}{x}$, $y = \dfrac{12}{x}$ 세 곡선을 비교해 보세요.
• $|a|$가 클수록 → 원점에서 더 멀리 떨어진 곡선 (바깥쪽).
• $|a|$가 작을수록 → 원점에 더 가까운 곡선 (안쪽). 그러나 어느 곡선도 원점을 지나지는 않는다.
• 곡선들이 서로 교차하지 않는다 (같은 부호일 때).
반비례 그래프는 정비례보다 점이 더 많이 필요합니다. 다음 4단계를 따라 그립니다.
$y = \dfrac{12}{x}$ 그래프를 그리려면, $12$의 약수인 $x = 1, 2, 3, 4, 6, 12$와 그 음수를 차례로 대입해 보세요. 그러면 정수 좌표인 점들 $(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)$ 등을 얻을 수 있어 부드러운 곡선을 그리기 쉽습니다.
비례상수를 다르게 한 여러 반비례 그래프를 한 평면에 동시에 그려 비교해 보세요.
아래 표에서 비례상수 $a$를 입력하면 즉시 해당 반비례 곡선이 평면에 추가됩니다.
$y = \dfrac{a}{x}$의 그래프는 두 분지로 나뉜 쌍곡선. $a$의 부호가 사분면을, $|a|$의 크기가 원점에서의 거리를 결정.